Checksum
选择一系列八进制数A, B, C, D, …, Y, Z
选8进制是因为8个bit为一个byte
使用记号[a,b]表示一个16进制数，其中a，b分别为8进制数,且a，b分别为这个16进制数的高八位与低八位。
则反码和(complement sum)为以下二者之一：
\[\begin{equation} [A, B] +' [C, D] +' \cdots +' [Y, Z] \ \ \ \ (1) \\ [A, B] +' [C, D] +' \cdots +' [Z, 0] \ \ \ \ (2) \end{equation}\]其中，\(+'\) 表示反码相加(complement addition)。存在两种情况的原因是字节数可能为奇，可能为偶。其中为奇则补0
进位采用循环进位(end around carry)的方式，即溢出回卷。
\[checksum = ~(number1 + number2 + \cdots + numberN) \\ \Rightarrow checksum + (number1 + number2 + \cdots numberN) = 0xFFFF\]校验和性质
Commutative and Associative
反码和的计算可以以任意顺序，且可以任意分组计算——即满足交换率和结合率。
如(1)可以写作：\(([A, B] +' [C, D] +' \cdots +' [J, 0]) +' ([0, K] + \cdots +' [Y, Z])\)
Byte Order Independence
所有16 bit数的反码和计算可以用任意byte顺序，仅需要保证所有字节为同一顺序即可。
如(1)可以写作：\([B, A] +' [D, C] +' \cdots +' [Z, Y]\)
当然，最后的结果的byte位也是按此顺序的。而原因可这样想：
我们取旧的数为 \([A, B]\) ,其中A由高到低为15-8位，B由高到低为7-0位。则这个字可如下表示
15 8 7 0
+--------|--------+
| A | B |
在跨字节进位过程中，进位仅出现在7->8, 15->0。
此时交换A, B位置为 \([B, A]\) ,则这个字可如下表示:
7 0 15 8
+--------|--------+
| B | A |
则此时在跨字节进位过程中，进位仍出现在7->8, 15->0。故最后的结果也仅仅是调换了byte位置而已，并不影响他们本身的数字绝对大小。
这个性质也就保证了在不同CPU上（尤指对16位数的高位、低位计算方法不同的CPU），计算出的结果相同。
Parallel Summation
由于有第一个性质，即满足交换率与结合率，也就没有计算顺序限制。无需按数字在byte流中出现的顺序计算。因而可以将其在塞入一个更大的数，如32位中，进行一种类似”并行”的运算。
如在32-bit计算机中，可以如下计算(1)式：\([A, B, C, D] +' \cdots\)
而后将其高16位与低16位相加，从而得到的即为所需校验和,且与(1)所得结果相同。个中原因分析参考性质2.
Coding Techniques
Incremental Update
避免重新计算整个数据报即可更新Checksum
记旧Checksum为C，新Checksum为C’。原始数据报和为m,更改后新的数据报和为m’
则 \(C + (0xFFFF - m) = C' + (0xFFFF - m') = OxFFFF\)
因此 \(C' = C + (m' - m)\) .此即完成了更新。
Example
运算例子：(以下所有数为16进制表示)
\[\begin{equation} \begin{array}[b]{lcccc} & & \mbox{byte-by-byte} & \mbox{"normal" order} & \mbox{swapped order} \\ \mbox{byte 0/1} & & 00\ 01 & 0001 & 0100\\ \mbox{byte 2/3} & & f2\ 03 & f203 & 03f2 \\ \mbox{byte 4/5} & & f4\ f5 & f4f5 & f5f4 \\ \mbox{byte 6/7} & + & f6\ f7 & f6f7 & f7f6 \\ \hline \mbox{sum1} & & 2dc\ 1f0 & 2ddf0 & 1f2dc \\ \mbox{sum2} & & dd\ f2 & ddf2 & f2dd \\ \mbox{final swap} & & dd\ f2 & ddf2 & f2dd \\ \end{array} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{array}[b]{lcccc} & & \mbox{byte-by-byte} & \mbox{"normal" order} & \mbox{swapped order} \\ \mbox{byte 0/1/2/3} & & 0001\ f203 & 0100\ 03f2 & 03f2\ 0100\\ \mbox{byte 4/5/6/7} & + & f4f5\ f6f7 & f5f4\ f7f6 & f7f6\ f5f4\\ \hline \mbox{sum1} & & f4f7\ e8fa & f6f4\ fbe8 & fbe8\ f6f4 \\ \\ \mbox{top halp} & & f4f7 & f6f4 & fbe8 \\ \mbox{bottom halp} & + & e8fa & fbe8 & f6f4 \\ \hline \mbox{sum2} & & 1ddf1 & 1f2dc & 1f2dc \\ \mbox{sum3} & & ddf2 & f2dd & f2dd \\ \mbox{final swap} & & ddf2 & ddf2 & ddf2 \\ \end{array} \end{equation}\]